CAPÍTULO
4
LAS
CIENCIAS FORMALES
4.1
La matemática: constructos formales y realidad
Si
preguntamos a un grupo de estudiantes universitarios si conocen la demostración
del Teorema de Pitágoras según el cual "en un triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos", pueden contestar que sí, y para probarlo pueden recurrir al uso
de reglas, transportadores y otros instrumentos de medición, pueden dibujar
figuras sobre una cartulina, armar rompecabezas, etc. A pesar de lo útil del
procedimiento para entender los casos de aplicación del teorema, cualquier
cuerpo geométrico que puedan construir o dibujar con estos elementos no
constituye una demostración del Teorema de Pitágoras, y no habrán logrado nada
superior a lo que hacían los antiguos agrimensores egipcios. Es decir, no
habrían proporcionado una demostración en el campo de las ciencias formales, en
este caso, de la geometría. Con este clásico ejemplo, Cohen y Nagel (1968, tomo
I) advierten que una demostración es una prueba lógica, no supone una prueba
empírica ni afirma o niega nada acerca de la verdad fáctica de las premisas o
conclusiones involucradas. En lógica, aritmética, geometría, la verdad de las
proposiciones no se demuestra mediante ningún método experimental. En estos
casos, una prueba lógica es un "señalamiento" de las implicancias
entre un conjunto de proposiciones llamadas "axiomas" - que no se
demuestran - y otras proposiciones llamadas "teoremas" que sí deben
demostrarse.
Desde
el punto de vista puramente lógico, una demostración puede verse como un
argumento cuyas premisas son los axiomas o postulados, y la conclusión, la
conjunción de todos los teoremas deducidos. Esta cuestión lógica tiene que ver
con la validez de la inferencia y afecta al plano sintáctico, a la admisión de
ciertas reglas dentro del lenguaje, y no a la verdad o falsedad empírica de sus
proposiciones, A diferencia de las proposiciones de las ciencias fácticas, sólo
los "vacíos" teoremas deducidos de los axiomas son verdaderos, pero
no dicen nada acerca del mundo. El epistemólogo español, Jesús Mosterín (2000)
afirma que somos como las arañas, y las teorías de las ciencias formales son
como las redes o telas de araña con las que tratamos de capturar el mundo. No
hay que confundir estas redes con el mundo real, pero sin ellas, ¡cuánto más
lejos estaríamos de poder captarlo!
La
aplicabilidad de las ciencias formales a la realidad es objeto de discusión
filosófica. A ese respecto afirma Karl Popper (1983) que la creencia en que
cualquiera de los cálculos de la aritmética es aplicable a cualquier realidad
es insostenible, ya que, por ejemplo, no podemos decir que hay 3,6 o 3,1416
cocodrilos en el zoológico; para contar cocodrilos debemos utilizar el cálculo
de los números naturales. Pero para determinar la latitud de nuestro zoológico
o su distancia de Greenwich, quizás tengamos que hacer uso del número π. Sí
consideramos una proposición tal como "2 + 2 = 4", es claro que se la
puede aplicar a "manzanas", por ejemplo, en diferentes sentidos. En
el primero de esos sentidos, el enunciado "2 manzanas más 2 manzanas es
igual a 4 manzanas" es considerado irrefutable y lógicamente verdadero
pero no dice nada referente a las manzanas. Su verdad reside en las
definiciones de "2", "4", "+", "="
(estas definiciones pueden ser implícitas o explícitas). De esta manera,
podemos decir que la aplicación no es real sino aparente. Aún más importante es
la aplicación en el segundo sentido. Desde este punto de vista, puede
considerarse que "2 + 2 = 4" significa que si alguien coloca dos manzanas
en una canasta y luego otras dos, y no extrae de la canasta ninguna manzana,
habrá en ella cuatro. Según esta interpretación, el enunciado "2 + 2 =
4" se convierte en una teoría física, no lógica, y, por ende, no podemos estar
seguros de que sea universalmente verdadero: de hecho no lo es, ya que puede
valer para manzanas pero no para otras entidades como "animales", "gotas
de un líquido", etc.
La
concepción clásica sobre la metodología de las ciencias formales se encuentra
ya en Aristóteles, cuando destaca los tres supuestos fundamentales de la
ciencia demostrativa: el supuesto de deducibilidad, el de evidencia y el de
realidad. El primero de los supuestos admite que la ciencia demostrativa debe partir de ciertos
principios, los indefinibles, que servirán para definir cualquier otro término,
y, por otro lado, deberá partir de los indemostrables o axiomas para demostrar
todas las otras verdades de esa ciencia mediante el empleo de reglas. El
supuesto de evidencia exige que los axiomas sean de tal naturaleza que se los
pueda aceptar como verdaderos sin demostración. La evidencia debe alcanzar
también a los términos primitivos, de manera que su claridad permita aceptarlos
sin definición. Las definiciones, por su parte, son las encargadas de declarar unívocamente el
ser de las cosas y por ello serían verdaderas. Estos dos supuestos se admiten
junto al supuesto de realidad, puesto que, para Aristóteles,
"ciencia" es siempre "ciencia de la realidad".
El
prototipo de esta 'presentación axiomática' son los Elementos de la Geometría
de Euclides, que datan aproximadamente del año 300 a. C, obra que durante más de dos mil
doscientos años fue considerada como el modelo de las ciencias matemáticas y
como el espejo de la exactitud científica. En los Elementos, toda la geometría,
que hasta entonces era una reunión de reglas empíricas para medir o dividir
figuras, se convierte en ciencia deductiva: de este modo, el conocimiento
empírico pasa a ser conocimiento formal.
Además
de los axiomas, Euclides emplea postulados, sumando otras reglas de inferencia
a las reglas de la silogística aristotélica. Euclides comienza por definir
algunos términos. La primera definición sostiene:
"Punto
es lo que no tiene partes". Y la segunda definición:
"Línea
es una longitud sin anchura".
Proporciona
un grupo de postulados y un grupo de axiomas. Los postulados son los
siguientes:
1.
Desde cualquier punto a cualquier otro se puede trazar una recta.
2.
Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma dirección.
3.
Con cualquier centro y con cualquier radio se puede trazar una circunferencia.
4.
Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5.
Si una recta, al cortar a otras dos, forma de un mismo lado ángulos internos
menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan
del lado en que están los ángulos menores que dos rectos.
Entre
los axiomas se encuentran los siguientes:
"Cosas
iguales a una misma cosa, son iguales entre si".
"Si
a cosas iguales se le agregan cosas iguales, las sumas son iguales".
Los
axiomas tienen un carácter general, mientras que los postulados son considerados
como los puntos de partida específicos de cada ciencia. Lo importante es que,
tanto axiomas como postulados, son considerados verdades evidentes que no
tienen ni necesitan demostración. Sobre la base de ellos, demuestra un conjunto
de proposiciones. Estas proposiciones demostradas son los teoremas. Por
ejemplo:
"En
los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí, y si se
prolongan las rectas iguales (lados), los ángulos debajo de la base serán también
iguales entre sí".
Entre
los postulados de Euclides, los cuatro primeros expresan nociones más o menos
evidentes para la intuición. En cambio el quinto postulado, conocido también
como el Postulado de las paralelas, carece de este tipo de evidencia y resulta
más complicado de entender. De hecho, tal parece que Euclides mismo evitó usarlo,
lo que llevaría a pensar que fue el primer geó-metra no euclideano (Schuster,
1992)
Durante
el siglo XIX y principios del XX, desarrollos revolucionarios en 166 ARGUMENTOS
Y TEORÍAS el campo de las matemáticas pusieron en crisis los presupuestos de la
ciencia demostrativa, especialmente los supuestos de evidencia y de realidad.
Saccheri (1667-1733) sustituyó el Postulado de las paralelas por otros
supuestos contrarios y después trató de deducir una contradicción del conjunto
de los otros postulados de Euclides y este nuevo conjunto de enunciados. Con ello
no demostró que la geometría euclideana es contradictoria sino que es incompatible
con otras. La formulación de las geometrías no euclidianas, en las que no es
válido el quinto postulado de Euclides, es un logro debido a los trabajos de
Gauss (1777-1855), Lobachevsky (1793-1856), Bolyai (1802- 1860) y Riemann
(1826-1866), quienes abrieron nuevos caminos para el desarrollo de los sistemas
axiomáticos. Una revolución parecida ocurre en el campo de la lógica con los
trabajos de Boole y De Morgan a mediados del siglo XIX, que constituyeron un
estímulo para que distintas disciplinas incorporaran desarrollos cada vez más
generales. La teoría de conjuntos de Cantor y la lógica de Frege aportaron el
máximo de generalización permisible para la época, y permitieron caracterizar
una nueva concepción de las ciencias formales. Whitehead y Russell en los
Principia Mathematica completan la tarea revolucionaria en el primer tramo del
siglo XX. En esta concepción contemporánea, la visión clásica de las ciencias
deductivas es reemplazada por otra donde la matemática se presenta como una
jerarquía de estructuras caracterizadas por ciertas propiedades formales
definidas axiomáticamente.
Actualmente,
queda claro que Euclides no es la última palabra en geometría, como se creyó
durante siglos, puesto que se pueden construir nuevos sistemas geométricos
empleando axiomas distintos e incluso incompatibles con los de Euclides. La
convicción de que los axiomas pueden establecerse en virtud de su autoevidencia
resultó drásticamente desmentida. Por el contrario, gradualmente se fue
reconociendo que el trabajo de un matemático es derivar teoremas a partir de
hipótesis, postulados o axiomas y no, en cuanto matemático, decidir si estos
puntos de partida son realmente verdaderos. A diferencia del resto de los
científicos que emplean las matemáticas para investigar un campo de estudio
particular, el único problema que el matemático tiene que afrontar no es saber
si los enunciados de partida que utiliza son verdaderos, sino si las
conclusiones a las que arriba son consecuencias lógicas necesarias de estas
hipótesis de partida.
El
carácter formal de la lógica se revela en el hecho de que esta disciplina se
ocupa únicamente de estructuras formales y de las relaciones entre tales estructuras.
Una de estas relaciones es, por ejemplo, la deducibilidad. Sin embargo, una
lógica puede ser formal sin ser todavía formalizada. Una lógica se halla
formalizada cuando se enumeran en ella todos los signos no definidos; se
especifica en qué condiciones una fórmula dada pertenece al sistema; se
enumeran los axiomas usados como premisas y las reglas de inferencia consideradas
como aceptables, etc.
Así,
por ejemplo, la lógica aristotélica es una lógica formal, que puede ser formalizada,
tal como lo ha hecho J. Lukasiewicz en su obra sobre la silogística
aristotélica. Vale la pena advertir que los términos 'formal' y 'formalizado' no
deben confundirse con el vocablo 'formalista', que se utiliza para designar una
de las tres grandes escuelas en la matemática contemporánea, junto a las escuelas
logicista e intuicionista. En el ámbito de la lógica y la matemática, el Formalismo
es un movimiento impulsado por Hilbert en los años 20. Hilbert inventó un
lenguaje de la lógica y comenzó a trasladar las afirmaciones de la teoría de
números dentro de él. Su propósito era construir sistemas formales completos
para las principales teorías de la matemática clásica. Completos en el sentido
de que cualquier afirmación puede o bien ser demostrada o bien ser demostrada
su negación. El programa de Hilbert también requería que se demostrara la
consistencia de dichos sistemas formales.
4.2.
Sistemas axiomáticos
Los
componentes de los sistemas axiomáticos son:
1.
Los términos primitivos.
2.
Las definiciones.
3.
Los axiomas. 168 ARGUMENTOS Y TEORÍAS
4.
Reglas (razonamientos deductivos).
5.
Teoremas,
A
fines del siglo XIX, Giuseppe Peano (1858- 1932) intenta sistematizar axiomáticamente
las verdades conocidas tradicionalmente sobre los números naturales, sus
propiedades y operaciones básicas. Citamos, a modo de ejemplo, algunos
componentes del sistema axiomático construido:
Términos
primitivos
Cl
Número natural
C2
Cero
C3
El siguiente de
Axiomas
Al
Si un objeto es número natural, el siguiente también lo es
A2
El cero es un número natural
A3
El cero no es el siguiente de ningún número natural
A4
Dos objetos con el mismo siguiente son el mismo número natural
A5
Si el cero tiene una propiedad (j) y el que un número natural sea
(j)
implica que su siguiente también es (j), entonces todo número natural tiene (j)
A5
es considerado un esquema axiomático ya que contiene una variable
(j),
en este caso, una variable para propiedades, lo que da lugar a axiomas
específicos para los casos de ejemplificación, como advierten Díez y Moulines
(1999).
Teoremas
TI
El siguiente del siguiente de cero es un número natural
T2
El siguiente del siguiente del cero no es el siguiente del cero
T3
Cero no es el siguiente del siguiente del cero
Definiciones
D1
Uno es el siguiente del cero
D2
Dos es el siguiente de uno
Como
vemos, los términos primitivos no se definen pero sirven para definir otros
términos. Es claro que un intento de definir todos los términos conduciría a un
círculo vicioso. Así, por ejemplo, un diccionario puede definir
"existir" como "ser", y luego definir "ser" como
"existir", con el resultado de que "existir" significa
"existir". Para evitar esta dificultad, en un sistema axiomático se
seleccionan ciertos conceptos como primitivos o sin definición, y se definen a
partir de ellos todas las demás nociones necesarias. El primer paso para
construir un sistema axiomático consiste en proporcionar una lista de todos los
términos sin definición. Por motivos prácticos es conveniente disponer sólo de
pocos de estos términos, aunque a veces el reducirlos a un mínimo da lugar a
complicaciones innecesarias El segundo paso para conformar un sistema
axiomático consiste en establecer una relación de todas las proposiciones para
las que no se dan demostraciones. Estas proposiciones son los axiomas del
sistema. Del mismo modo que sucede con los términos, para el caso de los
axiomas, es necesario partir de enunciados que no necesiten demostración, para
evitar incurrir en un regreso al infinito o en un círculo vicioso. Los axiomas
se consideran enunciados verdaderos sin que su verdad se derive de otros
enunciados. Se busca siempre partir del menor número de axiomas. Los primeros
sistemas axiomáticos eran muy arbitrarios y recargados, mientras que los
actuales evidencian sencillez y economía de recursos.
Los
axiomas y las definiciones, aparentemente, son triviales. Por ejemplo: si soy
argentino o soy argentino, entonces, soy argentino.
En
esta aparente trivialidad radica la fuerza de un sistema axiomático, en la
medida en que, construido sobre sencillos axiomas, un sistema axiomático conduce
a la formulación completa de una ciencia de ellos derivada. El vigor deductivo
permite inferir el máximo de leyes, y es allí donde radica el valor del
sistema. El cuarto paso para construir un sistema axiomático consiste en desarrollar
el sistema, esto es, deducir las consecuencias lógicas mediante el empleo de
reglas de inferencia que, en todos los casos, son razonamientos deductivos.
Estas consecuencias son los teoremas del sistema.
Puede
definirse a un teorema como "el último paso de una demostración". Una
demostración es un conjunto finito de enunciados donde cada uno de ellos es un
axioma o es una consecuencia lógica de otros enunciados anteriores, en virtud
de una regla de inferencia. Dado que los axiomas se admiten como enunciados
verdaderos y las reglas de inferencia son razonamientos deductivos, es decir,
inferencias que transmiten la verdad, entre premisas y conclusión, los teoremas
son enunciados verdaderos.
La
presencia inevitable en todo sistema axiomático de términos sin definición y
proposiciones sin demostración es lo que Russell señala en su famoso aforismo,
cuando dice que "en matemáticas nunca se sabe de qué se está hablando ni
si lo que se dice es verdad'.
Al
respecto afirma Alfred Tarski:
Los
principios que vamos a estudiar tienen por objeto asegurar al conocimiento
matemático el mayor grado posible de claridad y certeza. Desde este punto de
vista sería ideal un procedimiento que permitiese aclarar el sentido de todas
las expresiones que apareciesen en esta ciencia y fundamentar todos sus
teoremas. Ahora bien, es fácil ver que este ideal no sería realizable nunca. En
efecto, cuando se trata de aclarar la significación de una expresión, hay que
emplear necesariamente otras expresiones; para aclarar la significación de
estas nuevas y evitar el círculo vicioso, deberíamos valemos a su vez de otras,
y así sucesivamente. De este modo, comenzamos un proceso que nunca llegaría al
fin, al que hablando gráficamente llamamos retroceso infinito —regressus in
infinitum- Exactamente lo mismo pasa al fundamentar los teoremas matemáticos:
para fundamentar un teorema, debemos recurrir a otros y (si queremos evitar el
círculo vicioso) recaemos también en el regressus in infinitum. Como expresión
del compromiso entre aquel ideal inasequible y las posibilidades reales, en la
edificación de las disciplinas matemáticas hemos instituido ciertos principios,
que podemos describir de la manera siguiente:
Caracterizamos,
ante todo, un pequeño grupo de expresiones de ella que nos parezcan
comprensibles de por sí; llamaremos a las expresiones de este grupo conceptos
fundamentales o conceptos no definidos (...) la proposición que nos da tal
determinación de la significación se llama, como es sabido, definición, y los conceptos
deducidos reciben también el nombre de conceptos definidos.
Lo
mismo procederemos con las proposiciones de la ciencia considerada. Elegiremos
algunos de éstos, los que nos parezcan más evidentes, como proposiciones fundamentales
o axiomas y los reputaremos ciertos sin fundamentos de ningún modo. En cambio
nos obligaremos a fundamentar todas las demás, llamadas proposiciones deducidas
o teoremas (...) también sabemos que esta fundamentación de los teoremas
matemáticos se denomina demostración.(Tarski, 1951)
En
la perspectiva contemporánea, existe una libertad bastante importante para la
elección de axiomas. Los fundamentos que deciden la elección de un determinado
sistema de conceptos fundamentales y axiomas entre la totalidad de los posibles
sistemas equivalentes, no tienen nada de evidente.
En
rigor, se trata de una conveniencia pragmática y hasta estética, donde la sencillez
y la economía de axiomas se consideran un rasgo de elegancia y de eficacia.
4.2
Propiedades de los sistemas axiomáticos
¿Qué
condiciones deben satisfacer los axiomas y las reglas de inferencia para
construir un sistema axiomático? En principio, qué sistema de axiomas se elija
es una cuestión de conveniencia. No es necesario que los axiomas sean evidentes,
elementales o escasos. El sistema axiomático sí debe ser: 172 ARGUMENTOS Y
TEORÍAS
a)
Consistente: Un sistema es consistente si, desde los axiomas, no se puede
derivar una fórmula y su negación. Si se admitiera una contradicción, entonces
el sistema podría aceptar cualquier enunciado, admitiría todos los enunciados
posibles, incluso los que afirman y niegan lo mismo.
Un
sistema inconsistente carece de utilidad, puesto que todas las fórmulas podrían
ser consideradas teoremas, incluso aquellas que se contradijeran.
Si
se logra derivar una fórmula y su negación como teoremas de un sistema, esto
constituye una prueba de su inconsistencia. Pero si no se logra probar un caso
de inconsistencia en un sistema axiomático, eso no prueba que el sistema sea
consistente.
b)
Independiente: Los axiomas deben ser independientes entre sí. Ningún axioma
debe derivarse de otros o del conjunto de axiomas. A menos que se pueda
establecer que dos proposiciones son independientes, no se puede saber si son
proposiciones distintas o dicen lo mismo de otro modo. Al igual
que
en el caso anterior, si se logra deducir un axioma de otro se prueba que el
sistema es redundante y no independiente, pero sí se trata de derivarlo y no se
logra, eso no constituye una prueba de que los axiomas sean independientes. Es importante
respetar este requisito, ya que de no hacerlo se multiplicarían
innecesariamente la cantidad de axiomas y no habría un criterio de demarcación
entre axioma y teorema. Cualquier teorema podría ser elevado a la categoría de
axioma. Este tipo de impugnación es frecuente al criticar sistemas axiomáticos.
La falta de independencia entre axiomas no se considera un defecto grave sino,
más bien, un defecto de belleza, (Moreno, 1981).
El
mismo requisito rige para los términos, es decir, no debería considerarse término
primitivo a aquel que contenga expresiones que puedan definirse.
c)
Completo: Esto permite derivar de los axiomas todas las leyes del sistema. En
un sistema completo, el agregado de una ley no derivable hace inconsistente el
sistema.
Según
Tarski (1951) llamamos consistente a una disciplina deductiva cuando no hay en
ella dos enunciados que se contradigan mutuamente, o, con otras palabras;
cuando de dos enunciados contradictorios en ella, al menos uno no pueda
demostrarse. En cambio, la llamaremos completa o íntegra cuando de dos
proposiciones formuladas en la misma, con ayuda exclusiva de expresiones de
ésta y de las disciplinas precedentes y contradictorias entre sí, al menos una
de ambas pueda demostrarse. Estos dos términos, "falta de contradicción"
y "completa", no solamente se refieren a la disciplina misma, sino
también al sistema de axiomas que la fundamenta.
Estos
requisitos constitutivos de los sistemas axiomáticos fueron objeto de revisión
durante el siglo XX. En 1931 apareció, en una revista científica alemana, un
trabajo relativamente breve, que produjo un alto impacto en el campo de las
ciencias formales. Su autor, Kurt Gödel, un joven matemático austríaco de 25
años, tituló este trabajo "Acerca de proposiciones formalmente indecidibles
de los Principia Mathematica y sistemas relacionados".
Las
conclusiones establecidas por Gödel en este trabajo y en otros posteriores, son
actualmente ampliamente aceptadas por sus implicancias revolucionarias en los
fundamentos de las ciencias formales. En primer lugar, son una prueba de la
imposibilidad de demostrar ciertas proposiciones fundamentales en la aritmética.
En segundo lugar, obligaron a advertir y reconocer que nunca se logrará
construir una disciplina deductiva completa y exenta de contradicción, que
contenga, entre sus enunciados, todas las proposiciones ciertas de la
aritmética y la geometría, en las que hay problemas que no pueden decidirse de
modo concluyente, lo que hace crecer la posibilidad de aparición de
inconsistencia e incompletitud. Podría pensarse que esta carencia está en condiciones
de subsanarse ampliando, en el futuro, los sistemas axiomáticos vigentes. Lo
que Gödel probó es comparable (isomorfo) a la afirmación "este teorema no
tiene demostración". En definitiva, descubrió que existían afirmaciones
verdaderas (teoremas) que no podían ser probadas dentro del sistema. Gödel
probó que todo sistema formal que contuviera a la aritmética elemental es
incompleto. Además, descubrió que la consistencia de dichos sistemas era imposible
de probar. Esto no significó el fin del Formalismo, pero supuso un duro golpe
para éste, que había contemplado un programa para establecer los fundamentos de
las matemáticas por medio de un proceso autoconstructivo", mediante el
cual la consistencia de las teorías complejas pudiera deducirse de la
consistencia de otras teorías más sencillas. Gödel, por otra parte, no
consideraba que sus teoremas de incompletitud demostrasen la inadecuación del
método axiomático, sino que permitían advertir que la deducción de teoremas no
puede mecanizarse. A su modo de ver, justificaban el papel de la intuición en
la investigación matemática. Por su parte, Church demostró en 1936 que la
lógica elemental de predicados es indecidible.
La
metodología de las ciencias formales es hoy una ciencia deductiva, ella misma
se ocupa de investigar y analizar las teorías deductivas en lógica y en matemáticas,
los signos que las componen, las relaciones semánticas que se establecen entre
esas expresiones, el estudio de las propiedades de estas estructuras, etc. En
estos casos, la semiótica con el deslinde de sus dimensiones sintácticas,
semánticas y pragmáticas, aporta un andamiaje conceptual útil para esta
disciplina. El grado de desarrollo alcanzado ha servido para tomar nuevas y más
exigentes precauciones a la hora de establecer los límites de los lenguajes
formales, al realizar afirmaciones absolutas respecto de la verdad o falsedad
de sus enunciados. Los aportes de Gödel y Church ponen en evidencia que aún
entre todo lo demostrable, no todo es calculable, mientras que la semántica nos
previene contra el uso espurio y dogmático del concepto de "verdad".
4.3
Interpretación y modelo de los sistemas axiomáticos
El
método axiomático es un poderoso instrumento de abstracción. El carácter ciego
y mecánico de las demostraciones permite que puedan ser realizadas por
máquinas. Los sistemas axiomáticos actuales son sistemas formalizados, lo que
permite que un mismo sistema axiomático pueda tener varias interpretaciones.
Cada interpretación se denomina un modelo. Se dice que se interpreta un
concepto primitivo cuando se le atribuye un sentido, y se obtiene un modelo de
un sistema axiomático cada vez que uno de tales conceptos se ha interpretado de
manera que son ciertas las proposiciones que resultan de los axiomas. Para
afirmar que una interpretación dada de los conceptos primitivos de un sistema
axiomático constituye un modelo, deberemos disponer de un criterio para
determinar la veracidad de proposiciones particulares formadas por las
interpretaciones de los postulados. Si se aceptan como ciertos los teoremas de
la aritmética ordinaria, un sistema axiomático (el de los números reales) puede
servir de modelo para otro sistema axiomático; diremos que este sistema es tan
compatible como el sistema de los números reales. Cuando Beltrami demostró que
las geometrías no euclidianas pueden interpretarse como geometrías sobre
ciertas superficies en el espacio euclídeo tridimensional, probó que esas
geometrías son tan compatibles como la geometría euclideana. Si dos modelos
corresponden a un mismo sistema axiomático, se dice que son isomorfos. Y si dos
modelos son isomorfos, se admite que tendrán las mismas propiedades formales.
A modo de cierre, para
reflexionar…
