ÉTICA APLICADA Y MEDIOS A FINES

 Todos los días los medios de comunicación informan sobre episodios de deterioro social y ambiental o de daños a personas y a sus bienes. A veces se trata de desastres naturales, terremotos, huracanes, sequías, pero en muchos casos se trata de daños producidos mediante la aplicación del conocimiento científico y de alguna tecnología. Pero también diariamente leemos sobre los beneficios de la ciencia y la tecnología: terapias más efectivas para enfermedades que hasta hace poco eran mortales, nuevas vacunas, robots que hacen cirugía de corazón abierto, sistemas de cómputo y de comunicaciones que permiten teleconferencias y una mejor educación a distancia, productos novedosos en la telefonía móvil, en Internet o en aviones para hacer la comunicación más rápida, segura y económica.

  La posibilidad de que el conocimiento científico y la tecnología se usen para bien y para mal ha dado lugar a concepciones encontradas acerca de su naturaleza y de los problemas éticos que plantean. Una de esas concepciones sostiene la llamada “neutralidad  valorativa” de la ciencia y de la tecnología. De acuerdo con ella, la ciencia y la tecnología no son buenas ni malas por sí mismas. Su carácter positivo o negativo, desde un punto de vista moral, dependerá de cómo se usen los conocimientos, las técnicas y los instrumentos que ellas ofrecen a los seres humanos. Esta posición sostiene, por ejemplo, que los conocimientos de física atómica y el control humano de la energía nuclear no son moralmente buenos ni malos por sí mismos. Son buenos si se usan para fines específicos y se cuidan los efectos ambientales; pero son malos si se usan para producir bombas, y peor si esas bombas se utilizan efectivamente para destruir bienes y dañar a la naturaleza, o para intimidar y dominar a pueblos o a personas. Para esta concepción, los conocimientos científicos y la tecnología sólo son medios para obtener  fines determinados. Los problemas éticos en todo caso surgen ante la elección de los fines a perseguir, pues son éstos los que pueden ser buenos o malos desde un punto de vista moral. Pero ni los científicos ni los tecnólogos son responsables de los fines que otros elijan.

  La concepción de la neutralidad valorativa de la ciencia se basa principalmente en la distinción entre hechos y valores. Las teorías científicas tienen el fin de describir y explicar hechos y no es su papel el hacer juicios de valor sobre esos hechos.

  A esta concepción se opone otra que propone un análisis según el cual la ciencia y la tecnología ya no pueden concebirse como indiferentes al bien y al mal. La razón de esto es que la ciencia no se entiende únicamente como un conjunto de proposiciones o de teorías, ni la tecnología se entiende sólo como un conjunto de artefactos. Bajo esta concepción alternativa, la ciencia y la tecnología se entienden como constituidas por sistemas de acciones intencionales. Es decir como sistemas que incluyen a los agentes que deliberadamente buscan ciertos fines, en función de determinados intereses, para lo cual ponen en juego creencias, conocimientos, valores y normas. Los intereses, los fines, los valores y las normas forman parte también de esos sistemas, y sí son susceptibles de una evaluación moral.

  "La tecnología está formada por sistemas técnicos que incluyen a las personas y los fines que ellas persiguen intencionalmente, al igual que los conocimientos, creencias y valores que se ponen en juego al operar esos sistemas para tratar de obtener las metas deseadas "(Quintanilla, 1989).

  Las intenciones, los fines y los valores, además de las acciones emprendidas y los resultados que de hecho se obtienen (intencionalmente o no), sí son susceptibles de ser juzgados desde un punto de vista moral.

  Bajo esta concepción, entonces, la ciencia y la tecnología no son éticamente neutrales.

Los sistemas técnicos pueden ser condenables o loables, según los fines que se pretendan lograr mediante su aplicación, los resultados que de hecho produzcan, y el tratamiento que den a las personas como agentes morales.

  Cuando los agentes realizan de hecho ciertas acciones, obtienen efectivamente ciertos resultados, algunos de los cuales coinciden con los fines perseguidos intencionalmente por ellos y otros no (son los resultados no intencionales).

  Cuando los agentes ponen en juego medios adecuados para obtener los fines que persiguen, suele decirse que han hecho una elección racional. Una elección de medios para alcanzar ciertos fines es racional si esos medios son adecuados para alcanzar esos fines.

  La consideración racional de los fines es muy importante para las evaluaciones éticas en la ciencia y la tecnología. Pues desde ese punto de vista, siempre debemos analizar si esos fines resultan o no compatibles con valores y principios que aceptamos como fundamentales desde el punto de vista moral.

  En resumen: los problemas éticos que plantea la tecnología no se limitan sólo al uso posible de los artefactos, sino que surgen en virtud de las intenciones de los agentes que forman parte de los sistemas técnicos, de sus fines, deseos y valores, así como de los resultados que de hecho obtengan, incluyendo los resultados no intencionales.

REVISTA DE CULTURA CIENTÍFICA 

.

De un modo general, llamamos ética a la rama de la filo­so­fía

que se ocupa de la moral —es decir, de las reglas, có­digos o normas que nos permiten vivir en sociedad y que hacen que juzguemos unas cosas como buenas y otras como malas—, así como de los valores —o sea, de la im­por­tancia última que asignamos a las cosas o a las acciones, importancia que se convierte en el atributo que condi­ciona el curso de nuestro comportamiento, y por la cual algunas cosas se hacen deseables y otras no. Así pues, la ética no se ocupa de cómo son las cosas, sino de cómo de­berían ser, de acuerdo con ciertos principios, en muchos casos ideales o utópicos, que permiten una mejor vida en sociedad.

Por su parte, podemos entender por ética del medio am­biente a la rama de la ética que analiza las relaciones que se establecen entre nosotros y el mundo natural que nos rodea. De hecho, entre los productos culturales más im­por­tantes de la evolución humana están determinadas preocupaciones éticas, incluyendo la preocupación por el medio ambiente en general y los seres vivos en particular. Algunos ejemplos ayudarán a concretar la idea. En los momentos álgidos de la caza ilegal del ri­no­ceronte blanco, especie en peligro de extinción y oficialmente protegida en Zim­babwe, los cazadores furtivos podían ser legalmente abatidos a tiros por los guardas de caza de las reservas de ese país. ¿Podemos justificar la muer­te de los furtivos para conservar a los rinocerontes?, ¿no deberíamos an­tes, quizás, considerar siquie­ra las con­diciones socioeconómicas del país y de los cazadores ilegales? Para pro­teger la integridad ecológica de cierta área natural protegida es necesario realizar incendios controlados en los bordes de sus bosques o abatir a un cierto número de animales salvajes que habitan en sus laderas. ¿Son estas acciones moralmente permisibles? Supongamos, en fin, que una com­pañía minera realiza una explotación a cielo abierto en una zona previamente inalterada. ¿Tiene la empresa una obli­gación moral para “restaurar” posteriormente la zona a su estado previo?, ¿tienen entonces el mismo valor la zona inalterada y la zona restaurada?

De un modo más general, interesan a la ética del medio ambiente problemas más amplios, como los siguientes: ¿tenemos algún derecho “especial” sobre el resto de la naturaleza?, ¿nos obliga nuestra “posición como seres humanos” a realizar alguna consideración determinada para con otros seres vivos?, ¿hay alguna “obligación ética” o ley moral que debamos seguir en el uso que podemos hacer de los recursos naturales? En tal caso, ¿por qué es así?, ¿en qué se basan tales limitaciones?, ¿en qué se diferencian de los principios morales que rigen nuestras relaciones con otros miembros de nuestra misma especie? A la ética del medio ambiente le incumben también las mismas grandes preguntas que a la ética en general. Por ejemplo: ¿son válidos aún los paradigmas éticos tradicionales para responder a los problemas ambientales derivados de las actividades de las sociedades humanas? Más aún: ¿hay principios o leyes morales de carácter general, es decir, de apli­cación universal,independiente del contexto, que deban seguirse a la hora de valorar las consecuencias de nuestros actos sobre la naturaleza? Los universalistas responderían de modo afirmativo, mientras que los relativistas de­fende­rían que los principios morales son siempre personales e intransferibles, y los utilitaristas considerarían la bondad de los actos en función de sus consecuencias —en concre­to, de la cantidad de bien producido, es decir, de su con­tri­bu­ción a la “felicidad” de quienes reciben dicho bien. ­Ahora bien, no es difícil darse cuenta de que el criterio utilitaris­ta, sin más, acarrea sus peligros, pues no siempre debe con­si­derarse justo, ético o bueno, aquello que produce la felici­dad a gran cantidad de gente. Por ejemplo, prácticas que provocan grandes mortandades entre los animales, como la caza ilegal de los elefantes por el marfil de sus colmillos, podrían llegar a ser consideradas éticamente como buenas, ya que generan satisfacción a los humanos. Por ello, no resulta claro hasta qué punto la ética del medio ambiente puede ser una ética utilitarista. Por contra, las teorías de la ética deontológica mantienen que las acciones deben juzgarse como buenas o malas independientemente de sus consecuencias. Así, se establecen códigos de normas o principios basados tan sólo en el deber, que podemos considerar como imperativos categóricos, cuya observancia o violación es lo que está intrínsecamente bien o mal.

Acerca de la naturaleza y lo natural

¿Qué cabe entender por naturaleza?, ¿qué es lo natural? Lo cierto es que podría no haber un significado único para es­tos términos, con lo que la respuesta a nuestra pregunta so­bre la existencia de normas universales que permitan valorar las consecuencias de nuestros actos sobre la naturaleza estaría en función de lo que entendemos por ésta.

La noción de natural, como opuesto a lo artificial, ha ge­nerado un amplio debate sobre la importancia de la na­tu­raleza que ha sido interferida por las actividades de las so­ciedades humanas, como es el caso de los paisajes res­tau­rados. Hay quienes consideran que las situaciones to­tal­men­te naturales, producto de una evolución a largo plazo, acarrean un “valor añadido” que estaría ausente en las que han sufrido la intervención humana. Tales formas de pensar corren el riesgo de menospreciar el valor de nuestra propia vida y de sus productos, como la cultura. Por ejem­plo, si consideramos que las especies tienen un valor propio, entonces su desaparición ha de ser vista como negativa, mientras que su conservación debe valorarse como positiva. Ahora bien, lo cierto es que la extinción es el destino final de las especies, y es de hecho un proceso natural, en el sentido de que ocurre también sin la intervención humana. De este razonamiento se puede deducir que lo que puede ser calificado como negativo es la acele­ra­ción en el proceso de desaparición de las especies, de­bi­da a las actividades humanas. Lo cual, a su vez, nos conduce a otra refle­xión: si no­sotros, nuestra especie, so­mos par­te de la natu­ra­leza, en­ton­ces cualquier cosa que nosotros ha­gamos es así mismo natural. Por ello, si forma­mos parte de la naturaleza, y como resultado de las actividades de las sociedades humanas está aumentando la tasa de extinción de las especies, ¿cómo podemos decir que la extinción no es un fenómeno natural?

Por otro lado, se tiende a creer generalmente que las so­ciedades nómadas de cazadores-recolectores, y otras for­mas de subsistencia en íntimo contacto con la natura­leza, eran depositarias de un profundo conocimiento y una am­plia veneración de la misma, por lo que han sido con­si­deradas como conservacionistas de la naturaleza. En pa­rale­lo, se suele considerar a las sociedades sedentarias, en las que se registraron fenómenos de urbanización y ex­plo­tación de los recursos naturales, como sistemas alejados de la naturaleza, sin contacto ni apreciación con la mis­ma. Ahora bien, esta visión de las civilizaciones pretecno­ló­gicas como “naturales”, y las sociedades tec­no­ló­gicas como “artificiales”, ha sido pues­ta en duda recientemente. Actualmente, se cree que los aborígenes podrían ha­berse comportado, también, como ex­plotadores de la naturaleza. Así pues, ¿es natural la explotación de la natu­raleza?

Dominio de la naturaleza

El antropocentrismo tiene sus orígenes en la afirmación clásica de que el hombre es la medida de todas las cosas; en consecuencia, sólo los asuntos concernientes al hombre poseerían dimensión moral, mientras que las consecuencias del comportamiento humano sobre terceras entidades —es decir, no humanas— serían irrelevantes, a no ser que indirectamente resultaran lesionados los derechos o intereses de otros seres humanos. La mecanización posterior de esta imagen del mundo llevó a delinear la idea según la cual el hombre y la naturaleza son entidades con­trapuestas, siendo aquel el dueño y señor de ésta. O, lo que es lo mismo, bajo la imagen del dominio de la natura­leza por parte del hombre, la naturaleza es sólo un objeto desnudo, sin sustancia ni potencia alguna, lo que explica que carezca de valores intrínsecos y de derechos.

Muchas civilizaciones han defendido una imagen del mundo según la cual nuestra especie merece, y de hecho tiene, un lugar “especial” entre los demás seres vivos. La ca­pacidad de modificar de modo consciente el mundo a nues­tro antojo, y el sentimiento de superioridad ligado a esta idea han servido para justificar el dominio de la naturaleza por parte del hombre. Las raíces de esta imagen del mundo, se­gún la cual nosotros seríamos los amos, dueños y se­ñores de todo lo demás, se pueden encontrar, al menos en parte, en determinadas creencias religiosas. 

Administración y gestión de la naturaleza

En general, las culturas pretecnológicas —con modos de vida basados en la caza y la recolección, actividades desarrolladas en un íntimo contacto con la naturaleza—, así como muchas sociedades tradicionales —que en muchos casos continúan viviendo de prácticas agrosilvopastoriles de subsistencia, mantenidas a lo largo del tiempo— han conservado un fuerte vínculo de unión con la naturaleza. En muchos de tales casos, el papel del hombre está bien descrito por una función de administración, responsabili­dad y cuidado de los bienes de un determinado lugar. Como guardianes de tales recursos, los seres humanos de estas culturas y sociedades trabajan la tierra de la que viven, desde una posición de humildad y reverencia que forma parte integral de esta con­cepción de las cosas.

Una imagen hasta cierto punto relacionada con lo ante­rior es la que se presenta de modo casi generalizado en las sociedades industriales y de consumo actuales. Así, son mu­chos quienes consideran que nuestro papel en la naturaleza es realizar una gestión, preferentemente racional, de los recursos naturales necesarios para satisfacer las nu­me­rosas demandas de las actividades de tales sociedades. Esta visión surge de diversas creencias fuertemente arrai­ga­das en la forma de pensar de quienes la defienden, entre las cuales podemos considerar las siguientes: 1) Somos la especie “más importante” del planeta, y por lo tan­to es­tamos a cargo del resto de la naturaleza; esta idea se observa claramente cuando hablamos de “nuestro” planeta, o cuando queremos “salvar” la Tierra. Ahora bien, ¿es éste un uso legítimo de la palabra nuestro?, ¿podemos acaso eri­girnos en salvadores del planeta?, ¿quién nos ha conferido tal título? 2) Siempre hay más, es decir, la Tierra nos ofrece una cantidad ilimitada de recursos naturales, y el ingenio humano puesto al servicio de la tecnología nos permite incluso descubrir nuevos recursos, nuevos usos para recursos ya conocidos, así como sustitutos para recursos que puedan estar agotándose. Sin embargo, ¿hasta cuándo podremos seguir haciendo un uso irracional de los recursos naturales?

Material para evaluación

TEXTO

CAPÍTULO 4

LAS CIENCIAS FORMALES

4.1 La matemática: constructos formales y realidad

Si preguntamos a un grupo de estudiantes universitarios si conocen la demostración del Teorema de Pitágoras según el cual "en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos", pueden contestar que sí, y para probarlo pueden recurrir al uso de reglas, transportadores y otros instrumentos de medición, pueden dibujar figuras sobre una cartulina, armar rompecabezas, etc. A pesar de lo útil del procedimiento para entender los casos de aplicación del teorema, cualquier cuerpo geométrico que puedan construir o dibujar con estos elementos no constituye una demostración del Teorema de Pitágoras, y no habrán logrado nada superior a lo que hacían los antiguos agrimensores egipcios. Es decir, no habrían proporcionado una demostración en el campo de las ciencias formales, en este caso, de la geometría. Con este clásico ejemplo, Cohen y Nagel (1968, tomo I) advierten que una demostración es una prueba lógica, no supone una prueba empírica ni afirma o niega nada acerca de la verdad fáctica de las premisas o conclusiones involucradas. En lógica, aritmética, geometría, la verdad de las proposiciones no se demuestra mediante ningún método experimental. En estos casos, una prueba lógica es un "señalamiento" de las implicancias entre un conjunto de proposiciones llamadas "axiomas" - que no se demuestran - y otras proposiciones llamadas "teoremas" que sí deben demostrarse.

Desde el punto de vista puramente lógico, una demostración puede verse como un argumento cuyas premisas son los axiomas o postulados, y la conclusión, la conjunción de todos los teoremas deducidos. Esta cuestión lógica tiene que ver con la validez de la inferencia y afecta al plano sintáctico, a la admisión de ciertas reglas dentro del lenguaje, y no a la verdad o falsedad empírica de sus proposiciones, A diferencia de las proposiciones de las ciencias fácticas, sólo los "vacíos" teoremas deducidos de los axiomas son verdaderos, pero no dicen nada acerca del mundo. El epistemólogo español, Jesús Mosterín (2000) afirma que somos como las arañas, y las teorías de las ciencias formales son como las redes o telas de araña con las que tratamos de capturar el mundo. No hay que confundir estas redes con el mundo real, pero sin ellas, ¡cuánto más lejos estaríamos de poder captarlo!

La aplicabilidad de las ciencias formales a la realidad es objeto de discusión filosófica. A ese respecto afirma Karl Popper (1983) que la creencia en que cualquiera de los cálculos de la aritmética es aplicable a cualquier realidad es insostenible, ya que, por ejemplo, no podemos decir que hay 3,6 o 3,1416 cocodrilos en el zoológico; para contar cocodrilos debemos utilizar el cálculo de los números naturales. Pero para determinar la latitud de nuestro zoológico o su distancia de Greenwich, quizás tengamos que hacer uso del número π. Sí consideramos una proposición tal como "2 + 2 = 4", es claro que se la puede aplicar a "manzanas", por ejemplo, en diferentes sentidos. En el primero de esos sentidos, el enunciado "2 manzanas más 2 manzanas es igual a 4 manzanas" es considerado irrefutable y lógicamente verdadero pero no dice nada referente a las manzanas. Su verdad reside en las definiciones de "2", "4", "+", "=" (estas definiciones pueden ser implícitas o explícitas). De esta manera, podemos decir que la aplicación no es real sino aparente. Aún más importante es la aplicación en el segundo sentido. Desde este punto de vista, puede considerarse que "2 + 2 = 4" significa que si alguien coloca dos manzanas en una canasta y luego otras dos, y no extrae de la canasta ninguna manzana, habrá en ella cuatro. Según esta interpretación, el enunciado "2 + 2 = 4" se convierte en una teoría física, no lógica, y, por ende, no podemos estar seguros de que sea universalmente verdadero: de hecho no lo es, ya que puede valer para manzanas pero no para otras entidades como "animales", "gotas de un líquido", etc.

La concepción clásica sobre la metodología de las ciencias formales se encuentra ya en Aristóteles, cuando destaca los tres supuestos fundamentales de la ciencia demostrativa: el supuesto de deducibilidad, el de evidencia y el de realidad. El primero de los supuestos admite que la ciencia  demostrativa debe partir de ciertos principios, los indefinibles, que servirán para definir cualquier otro término, y, por otro lado, deberá partir de los indemostrables o axiomas para demostrar todas las otras verdades de esa ciencia mediante el empleo de reglas. El supuesto de evidencia exige que los axiomas sean de tal naturaleza que se los pueda aceptar como verdaderos sin demostración. La evidencia debe alcanzar también a los términos primitivos, de manera que su claridad permita aceptarlos sin definición. Las definiciones, por su parte, son  las encargadas de declarar unívocamente el ser de las cosas y por ello serían verdaderas. Estos dos supuestos se admiten junto al supuesto de realidad, puesto que, para Aristóteles, "ciencia" es siempre "ciencia de la realidad".

El prototipo de esta 'presentación axiomática' son los Elementos de la Geometría de Euclides, que datan aproximadamente del año 300  a. C, obra que durante más de dos mil doscientos años fue considerada como el modelo de las ciencias matemáticas y como el espejo de la exactitud científica. En los Elementos, toda la geometría, que hasta entonces era una reunión de reglas empíricas para medir o dividir figuras, se convierte en ciencia deductiva: de este modo, el conocimiento empírico pasa a ser conocimiento formal.

Además de los axiomas, Euclides emplea postulados, sumando otras reglas de inferencia a las reglas de la silogística aristotélica. Euclides comienza por definir algunos términos. La primera definición sostiene:

"Punto es lo que no tiene partes". Y la segunda definición:

"Línea es una longitud sin anchura".

Proporciona un grupo de postulados y un grupo de axiomas. Los postulados son los siguientes:

1. Desde cualquier punto a cualquier otro se puede trazar una recta.

2. Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma dirección.

3. Con cualquier centro y con cualquier radio se puede trazar una circunferencia.

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma de un mismo lado ángulos internos menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en que están los ángulos menores que dos rectos.

Entre los axiomas se encuentran los siguientes:

"Cosas iguales a una misma cosa, son iguales entre si".

"Si a cosas iguales se le agregan cosas iguales, las sumas son iguales".

Los axiomas tienen un carácter general, mientras que los postulados son considerados como los puntos de partida específicos de cada ciencia. Lo importante es que, tanto axiomas como postulados, son considerados verdades evidentes que no tienen ni necesitan demostración. Sobre la base de ellos, demuestra un conjunto de proposiciones. Estas proposiciones demostradas son los teoremas. Por ejemplo:

"En los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí, y si se prolongan las rectas iguales (lados), los ángulos debajo de la base serán también iguales entre sí".

Entre los postulados de Euclides, los cuatro primeros expresan nociones más o menos evidentes para la intuición. En cambio el quinto postulado, conocido también como el Postulado de las paralelas, carece de este tipo de evidencia y resulta más complicado de entender. De hecho, tal parece que Euclides mismo evitó usarlo, lo que llevaría a pensar que fue el primer geó-metra no euclideano (Schuster, 1992)

Durante el siglo XIX y principios del XX, desarrollos revolucionarios en 166 ARGUMENTOS Y TEORÍAS el campo de las matemáticas pusieron en crisis los presupuestos de la ciencia demostrativa, especialmente los supuestos de evidencia y de realidad. Saccheri (1667-1733) sustituyó el Postulado de las paralelas por otros supuestos contrarios y después trató de deducir una contradicción del conjunto de los otros postulados de Euclides y este nuevo conjunto de enunciados. Con ello no demostró que la geometría euclideana es contradictoria sino que es incompatible con otras. La formulación de las geometrías no euclidianas, en las que no es válido el quinto postulado de Euclides, es un logro debido a los trabajos de Gauss (1777-1855), Lobachevsky (1793-1856), Bolyai (1802- 1860) y Riemann (1826-1866), quienes abrieron nuevos caminos para el desarrollo de los sistemas axiomáticos. Una revolución parecida ocurre en el campo de la lógica con los trabajos de Boole y De Morgan a mediados del siglo XIX, que constituyeron un estímulo para que distintas disciplinas incorporaran desarrollos cada vez más generales. La teoría de conjuntos de Cantor y la lógica de Frege aportaron el máximo de generalización permisible para la época, y permitieron caracterizar una nueva concepción de las ciencias formales. Whitehead y Russell en los Principia Mathematica completan la tarea revolucionaria en el primer tramo del siglo XX. En esta concepción contemporánea, la visión clásica de las ciencias deductivas es reemplazada por otra donde la matemática se presenta como una jerarquía de estructuras caracterizadas por ciertas propiedades formales definidas axiomáticamente.

Actualmente, queda claro que Euclides no es la última palabra en geometría, como se creyó durante siglos, puesto que se pueden construir nuevos sistemas geométricos empleando axiomas distintos e incluso incompatibles con los de Euclides. La convicción de que los axiomas pueden establecerse en virtud de su autoevidencia resultó drásticamente desmentida. Por el contrario, gradualmente se fue reconociendo que el trabajo de un matemático es derivar teoremas a partir de hipótesis, postulados o axiomas y no, en cuanto matemático, decidir si estos puntos de partida son realmente verdaderos. A diferencia del resto de los científicos que emplean las matemáticas para investigar un campo de estudio particular, el único problema que el matemático tiene que afrontar no es saber si los enunciados de partida que utiliza son verdaderos, sino si las conclusiones a las que arriba son consecuencias lógicas necesarias de estas hipótesis de partida.

El carácter formal de la lógica se revela en el hecho de que esta disciplina se ocupa únicamente de estructuras formales y de las relaciones entre tales estructuras. Una de estas relaciones es, por ejemplo, la deducibilidad. Sin embargo, una lógica puede ser formal sin ser todavía formalizada. Una lógica se halla formalizada cuando se enumeran en ella todos los signos no definidos; se especifica en qué condiciones una fórmula dada pertenece al sistema; se enumeran los axiomas usados como premisas y las reglas de inferencia consideradas como aceptables, etc.

Así, por ejemplo, la lógica aristotélica es una lógica formal, que puede ser formalizada, tal como lo ha hecho J. Lukasiewicz en su obra sobre la silogística aristotélica. Vale la pena advertir que los términos 'formal' y 'formalizado' no deben confundirse con el vocablo 'formalista', que se utiliza para designar una de las tres grandes escuelas en la matemática contemporánea, junto a las escuelas logicista e intuicionista. En el ámbito de la lógica y la matemática, el Formalismo es un movimiento impulsado por Hilbert en los años 20. Hilbert inventó un lenguaje de la lógica y comenzó a trasladar las afirmaciones de la teoría de números dentro de él. Su propósito era construir sistemas formales completos para las principales teorías de la matemática clásica. Completos en el sentido de que cualquier afirmación puede o bien ser demostrada o bien ser demostrada su negación. El programa de Hilbert también requería que se demostrara la consistencia de dichos sistemas formales.

4.2. Sistemas axiomáticos

Los componentes de los sistemas axiomáticos son:

1. Los términos primitivos.

2. Las definiciones.

3. Los axiomas. 168 ARGUMENTOS Y TEORÍAS

4. Reglas (razonamientos deductivos).

5. Teoremas,

A fines del siglo XIX, Giuseppe Peano (1858- 1932) intenta sistematizar axiomáticamente las verdades conocidas tradicionalmente sobre los números naturales, sus propiedades y operaciones básicas. Citamos, a modo de ejemplo, algunos componentes del sistema axiomático construido:

Términos primitivos

Cl Número natural

C2 Cero

C3 El siguiente de

Axiomas

Al Si un objeto es número natural, el siguiente también lo es

A2 El cero es un número natural

A3 El cero no es el siguiente de ningún número natural

A4 Dos objetos con el mismo siguiente son el mismo número natural

A5 Si el cero tiene una propiedad (j) y el que un número natural sea

(j) implica que su siguiente también es (j), entonces todo número natural tiene (j)

A5 es considerado un esquema axiomático ya que contiene una variable

(j), en este caso, una variable para propiedades, lo que da lugar a axiomas específicos para los casos de ejemplificación, como advierten Díez y Moulines

(1999).

Teoremas

TI El siguiente del siguiente de cero es un número natural

T2 El siguiente del siguiente del cero no es el siguiente del cero

T3 Cero no es el siguiente del siguiente del cero

Definiciones

D1 Uno es el siguiente del cero

D2 Dos es el siguiente de uno

Como vemos, los términos primitivos no se definen pero sirven para definir otros términos. Es claro que un intento de definir todos los términos conduciría a un círculo vicioso. Así, por ejemplo, un diccionario puede definir "existir" como "ser", y luego definir "ser" como "existir", con el resultado de que "existir" significa "existir". Para evitar esta dificultad, en un sistema axiomático se seleccionan ciertos conceptos como primitivos o sin definición, y se definen a partir de ellos todas las demás nociones necesarias. El primer paso para construir un sistema axiomático consiste en proporcionar una lista de todos los términos sin definición. Por motivos prácticos es conveniente disponer sólo de pocos de estos términos, aunque a veces el reducirlos a un mínimo da lugar a complicaciones innecesarias El segundo paso para conformar un sistema axiomático consiste en establecer una relación de todas las proposiciones para las que no se dan demostraciones. Estas proposiciones son los axiomas del sistema. Del mismo modo que sucede con los términos, para el caso de los axiomas, es necesario partir de enunciados que no necesiten demostración, para evitar incurrir en un regreso al infinito o en un círculo vicioso. Los axiomas se consideran enunciados verdaderos sin que su verdad se derive de otros enunciados. Se busca siempre partir del menor número de axiomas. Los primeros sistemas axiomáticos eran muy arbitrarios y recargados, mientras que los actuales evidencian sencillez y economía de recursos.

Los axiomas y las definiciones, aparentemente, son triviales. Por ejemplo: si soy argentino o soy argentino, entonces, soy argentino.

En esta aparente trivialidad radica la fuerza de un sistema axiomático, en la medida en que, construido sobre sencillos axiomas, un sistema axiomático conduce a la formulación completa de una ciencia de ellos derivada. El vigor deductivo permite inferir el máximo de leyes, y es allí donde radica el valor del sistema. El cuarto paso para construir un sistema axiomático consiste en desarrollar el sistema, esto es, deducir las consecuencias lógicas mediante el empleo de reglas de inferencia que, en todos los casos, son razonamientos deductivos. Estas consecuencias son los teoremas del sistema.

Puede definirse a un teorema como "el último paso de una demostración". Una demostración es un conjunto finito de enunciados donde cada uno de ellos es un axioma o es una consecuencia lógica de otros enunciados anteriores, en virtud de una regla de inferencia. Dado que los axiomas se admiten como enunciados verdaderos y las reglas de inferencia son razonamientos deductivos, es decir, inferencias que transmiten la verdad, entre premisas y conclusión, los teoremas son enunciados verdaderos.

La presencia inevitable en todo sistema axiomático de términos sin definición y proposiciones sin demostración es lo que Russell señala en su famoso aforismo, cuando dice que "en matemáticas nunca se sabe de qué se está hablando ni si lo que se dice es verdad'.

Al respecto afirma Alfred Tarski:

Los principios que vamos a estudiar tienen por objeto asegurar al conocimiento matemático el mayor grado posible de claridad y certeza. Desde este punto de vista sería ideal un procedimiento que permitiese aclarar el sentido de todas las expresiones que apareciesen en esta ciencia y fundamentar todos sus teoremas. Ahora bien, es fácil ver que este ideal no sería realizable nunca. En efecto, cuando se trata de aclarar la significación de una expresión, hay que emplear necesariamente otras expresiones; para aclarar la significación de estas nuevas y evitar el círculo vicioso, deberíamos valemos a su vez de otras, y así sucesivamente. De este modo, comenzamos un proceso que nunca llegaría al fin, al que hablando gráficamente llamamos retroceso infinito —regressus in infinitum- Exactamente lo mismo pasa al fundamentar los teoremas matemáticos: para fundamentar un teorema, debemos recurrir a otros y (si queremos evitar el círculo vicioso) recaemos también en el regressus in infinitum. Como expresión del compromiso entre aquel ideal inasequible y las posibilidades reales, en la edificación de las disciplinas matemáticas hemos instituido ciertos principios, que podemos describir de la manera siguiente:

Caracterizamos, ante todo, un pequeño grupo de expresiones de ella que nos parezcan comprensibles de por sí; llamaremos a las expresiones de este grupo conceptos fundamentales o conceptos no definidos (...) la proposición que nos da tal determinación de la significación se llama, como es sabido, definición, y los conceptos deducidos reciben también el nombre de conceptos definidos.

Lo mismo procederemos con las proposiciones de la ciencia considerada. Elegiremos algunos de éstos, los que nos parezcan más evidentes, como proposiciones fundamentales o axiomas y los reputaremos ciertos sin fundamentos de ningún modo. En cambio nos obligaremos a fundamentar todas las demás, llamadas proposiciones deducidas o teoremas (...) también sabemos que esta fundamentación de los teoremas matemáticos se denomina demostración.(Tarski, 1951)

En la perspectiva contemporánea, existe una libertad bastante importante para la elección de axiomas. Los fundamentos que deciden la elección de un determinado sistema de conceptos fundamentales y axiomas entre la totalidad de los posibles sistemas equivalentes, no tienen nada de evidente.

En rigor, se trata de una conveniencia pragmática y hasta estética, donde la sencillez y la economía de axiomas se consideran un rasgo de elegancia y de eficacia.

4.2 Propiedades de los sistemas axiomáticos

¿Qué condiciones deben satisfacer los axiomas y las reglas de inferencia para construir un sistema axiomático? En principio, qué sistema de axiomas se elija es una cuestión de conveniencia. No es necesario que los axiomas sean evidentes, elementales o escasos. El sistema axiomático sí debe ser: 172 ARGUMENTOS Y TEORÍAS

a) Consistente: Un sistema es consistente si, desde los axiomas, no se puede derivar una fórmula y su negación. Si se admitiera una contradicción, entonces el sistema podría aceptar cualquier enunciado, admitiría todos los enunciados posibles, incluso los que afirman y niegan lo mismo.

Un sistema inconsistente carece de utilidad, puesto que todas las fórmulas podrían ser consideradas teoremas, incluso aquellas que se contradijeran.

Si se logra derivar una fórmula y su negación como teoremas de un sistema, esto constituye una prueba de su inconsistencia. Pero si no se logra probar un caso de inconsistencia en un sistema axiomático, eso no prueba que el sistema sea consistente.

b) Independiente: Los axiomas deben ser independientes entre sí. Ningún axioma debe derivarse de otros o del conjunto de axiomas. A menos que se pueda establecer que dos proposiciones son independientes, no se puede saber si son proposiciones distintas o dicen lo mismo de otro modo. Al igual

que en el caso anterior, si se logra deducir un axioma de otro se prueba que el sistema es redundante y no independiente, pero sí se trata de derivarlo y no se logra, eso no constituye una prueba de que los axiomas sean independientes. Es importante respetar este requisito, ya que de no hacerlo se multiplicarían innecesariamente la cantidad de axiomas y no habría un criterio de demarcación entre axioma y teorema. Cualquier teorema podría ser elevado a la categoría de axioma. Este tipo de impugnación es frecuente al criticar sistemas axiomáticos. La falta de independencia entre axiomas no se considera un defecto grave sino, más bien, un defecto de belleza, (Moreno, 1981).

El mismo requisito rige para los términos, es decir, no debería considerarse término primitivo a aquel que contenga expresiones que puedan definirse.

c) Completo: Esto permite derivar de los axiomas todas las leyes del sistema. En un sistema completo, el agregado de una ley no derivable hace inconsistente el sistema.

Según Tarski (1951) llamamos consistente a una disciplina deductiva cuando no hay en ella dos enunciados que se contradigan mutuamente, o, con otras palabras; cuando de dos enunciados contradictorios en ella, al menos uno no pueda demostrarse. En cambio, la llamaremos completa o íntegra cuando de dos proposiciones formuladas en la misma, con ayuda exclusiva de expresiones de ésta y de las disciplinas precedentes y contradictorias entre sí, al menos una de ambas pueda demostrarse. Estos dos términos, "falta de contradicción" y "completa", no solamente se refieren a la disciplina misma, sino también al sistema de axiomas que la fundamenta.

Estos requisitos constitutivos de los sistemas axiomáticos fueron objeto de revisión durante el siglo XX. En 1931 apareció, en una revista científica alemana, un trabajo relativamente breve, que produjo un alto impacto en el campo de las ciencias formales. Su autor, Kurt Gödel, un joven matemático austríaco de 25 años, tituló este trabajo "Acerca de proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados".

Las conclusiones establecidas por Gödel en este trabajo y en otros posteriores, son actualmente ampliamente aceptadas por sus implicancias revolucionarias en los fundamentos de las ciencias formales. En primer lugar, son una prueba de la imposibilidad de demostrar ciertas proposiciones fundamentales en la aritmética. En segundo lugar, obligaron a advertir y reconocer que nunca se logrará construir una disciplina deductiva completa y exenta de contradicción, que contenga, entre sus enunciados, todas las proposiciones ciertas de la aritmética y la geometría, en las que hay problemas que no pueden decidirse de modo concluyente, lo que hace crecer la posibilidad de aparición de inconsistencia e incompletitud. Podría pensarse que esta carencia está en condiciones de subsanarse ampliando, en el futuro, los sistemas axiomáticos vigentes. Lo que Gödel probó es comparable (isomorfo) a la afirmación "este teorema no tiene demostración". En definitiva, descubrió que existían afirmaciones verdaderas (teoremas) que no podían ser probadas dentro del sistema. Gödel probó que todo sistema formal que contuviera a la aritmética elemental es incompleto. Además, descubrió que la consistencia de dichos sistemas era imposible de probar. Esto no significó el fin del Formalismo, pero supuso un duro golpe para éste, que había contemplado un programa para establecer los fundamentos de las matemáticas por medio de un proceso autoconstructivo", mediante el cual la consistencia de las teorías complejas pudiera deducirse de la consistencia de otras teorías más sencillas. Gödel, por otra parte, no consideraba que sus teoremas de incompletitud demostrasen la inadecuación del método axiomático, sino que permitían advertir que la deducción de teoremas no puede mecanizarse. A su modo de ver, justificaban el papel de la intuición en la investigación matemática. Por su parte, Church demostró en 1936 que la lógica elemental de predicados es indecidible.

La metodología de las ciencias formales es hoy una ciencia deductiva, ella misma se ocupa de investigar y analizar las teorías deductivas en lógica y en matemáticas, los signos que las componen, las relaciones semánticas que se establecen entre esas expresiones, el estudio de las propiedades de estas estructuras, etc. En estos casos, la semiótica con el deslinde de sus dimensiones sintácticas, semánticas y pragmáticas, aporta un andamiaje conceptual útil para esta disciplina. El grado de desarrollo alcanzado ha servido para tomar nuevas y más exigentes precauciones a la hora de establecer los límites de los lenguajes formales, al realizar afirmaciones absolutas respecto de la verdad o falsedad de sus enunciados. Los aportes de Gödel y Church ponen en evidencia que aún entre todo lo demostrable, no todo es calculable, mientras que la semántica nos previene contra el uso espurio y dogmático del concepto de "verdad".

4.3 Interpretación y modelo de los sistemas axiomáticos

El método axiomático es un poderoso instrumento de abstracción. El carácter ciego y mecánico de las demostraciones permite que puedan ser realizadas por máquinas. Los sistemas axiomáticos actuales son sistemas formalizados, lo que permite que un mismo sistema axiomático pueda tener varias interpretaciones. Cada interpretación se denomina un modelo. Se dice que se interpreta un concepto primitivo cuando se le atribuye un sentido, y se obtiene un modelo de un sistema axiomático cada vez que uno de tales conceptos se ha interpretado de manera que son ciertas las proposiciones que resultan de los axiomas. Para afirmar que una interpretación dada de los conceptos primitivos de un sistema axiomático constituye un modelo, deberemos disponer de un criterio para determinar la veracidad de proposiciones particulares formadas por las interpretaciones de los postulados. Si se aceptan como ciertos los teoremas de la aritmética ordinaria, un sistema axiomático (el de los números reales) puede servir de modelo para otro sistema axiomático; diremos que este sistema es tan compatible como el sistema de los números reales. Cuando Beltrami demostró que las geometrías no euclidianas pueden interpretarse como geometrías sobre ciertas superficies en el espacio euclídeo tridimensional, probó que esas geometrías son tan compatibles como la geometría euclideana. Si dos modelos corresponden a un mismo sistema axiomático, se dice que son isomorfos. Y si dos modelos son isomorfos, se admite que tendrán las mismas propiedades formales.

A modo de cierre, para reflexionar…

Guía de estudio para evaluación integradora 2do B Biología

        

1.    Realiza un cuadro comparativo entre las teorías Lamarckista y Darwinista.

2.    Define los siguientes términos:

a)    Ancestro común

b)    Homología

c)    Analogía

d)    Especie

3.    ¿Qué es un fósil? Explique en qué consisten los procesos de fosilización por compresión y cementación.

4.    Une según corresponda cada Representante con su Teoría

Needham			Generación espontánea      (Abiogénesis)
Aristóteles
Van Helmont			Síntesis      Prebiótica
Oparin
Haldane			Panspermia      (Semilla universal)
Arrhenius

5.    Menciona las características de la tierra primitiva.

6.    ¿A qué llamamos coacervados? ¿Qué características tenían?

7.    Explica cómo se origina la vida desde el punto de vista de las siguientes teorías.

a)    Creacionismo

b)    Generación espontánea

c)    Panspermia

d)    Síntesis Prebiótica.

8.    Selecciona una de los siguientes experimentos y explica en qué consistió.

a)    Experimento realizado por Miller.

b)    Experimento realizado por Pasteur.

c)    Experimento realizado por Redi

d)    Experimento realizado por Spallanzani

e)    Experimento realizado por Van Helmont.

9.    Expliquen por qué la célula es la unidad estructural y funcional de los seres vivos.

10.         Escriban un breve texto relacionando los siguientes conceptos.

Célula celda célula eucariota célula procariota núcleo Robert Hooke célula animal  

Célula vegetal membrana plasmática pared celular.        

11.  En qué consiste el modelo de mosaico fluido. Expliquen

12.  ¿Qué plantea la teoría endosimbiótica? ¿Cuáles son las evidencias a favor de esta teoría?

13.  Realicen una cuadro comparativo entre la estructura de una célula animal y una célula vegetal

14.  Realicen un cuadro comparativo con  las ventajas y desventajas de la reproducción sexual y asexual.

15.  Expliquen con sus palabras las principales diferencias entre la reproducción de las hidras y las estrellas de mar

16.  A que llamamos estrategias reproductivas K y r expliquen.

17.  Expliquen las diferencias reproductivas que existen entre anfibios y reptiles (no olviden mencionar tipo de fecundación y desarrollo).

18.  Completa el cuadro

Teorías del origen de la biodiversidad
Representantes	Teorías	Conceptos básicos de la teoría
	Creacionismo
Cuvier
	Uniformitarismo
	Transformismo
Darwin

19.  Completen  el siguiente cuadro

Hipótesis sobre el origen de la reproducción sexual
Mecanismo de reparación del material genético	Mecanismo de rejuvenecimiento	canibalismo	Resistencia a parásitos

20.  Elaboren un breve texto relacionando algunos conceptos que serán de utilidad para futuros estudiantes. (2ptos.)

a.    Vivíparo – gónadas – gametos – reproducción anisogámica – reproducción isogámica – unisexuales – fecundación interna – desarrollo interno – seres humanos.